x = A % ( ω t + φ )

v = A ω % ( ω t + φ ) = A ω % ( ω t + φ + π 2 )

a = − A ω 2 % ( ω t + φ ) = A ω 2 % ( ω t + φ + π ) a = − ω 2 x

koadraturan

oposizioan

Anplitudea: A

Periodoa:

Maiztasuna:

Aldiuneko fasea:

T = 2 π ω

1D- ko OSZILAZIO HARMONIKOAK

ν = ω 2 π = 1 T

ω t + φ

ZINEMATIKA (2. gaia)

 

DINAMIKA

Demagun partikula higikorraren masa m dela

F = ma = m d 2 x d t 2

a = d 2 x dt 2 = − ω 2 x

d 2 x d t 2 + ω 2 x = 0

 

2.- Pendulu sinplea

F τ = − mg % ϕ = m a τ a τ = d 2 s d t 2 = L d 2 ϕ d t 2

d 2 ϕ d t 2 + g L % ϕ = 0

 
M = I α = I d 2 θ dt 2

I : O  puntuarekiko inertzia-momentua

b: MZ  eta ardatzaren arteko distantzia

M = − m g b sin θ

 

OSZILAZIO HARMONIKOEN ENERGIA

Energia zinetikoa:

v = ω A 2 − x 2 ω = k / m

E k = 1 2 m v 2 = 1 2 m ω 2 ( A 2 − x 2 ) = 1 2 k ( A 2 − x 2 )

Energia potentziala:

E p = 1 2 k x 2

Energia mekanikoa:

E = 1 2 k A 2

konstante

 

ENERGIA POTENTZIALA MALGUKI BERTIKALETAN

Izan bedi lo luzerako malguki bertikala (A). Malgukiaren gainean m masa jartzean yo konprimitzen da eta oreka posizio berria lortzen du (B). Oreka berri horren inguruan oszilazioak egingo ditu. Nola idatziko dugu energia potentziala, oreka posizio berritik y1 konprimitu denean (C)?

Oreka berrian (B):

mg − k y o = 0

y o = mg k

Energia potentziala C puntuan adierazteko 2 jatorri desberdin har dezakegu: A edo B.

    • ●Jatorria A puntuan jarrita, malgukia y konprimitu da. A-tik neurtuta Ep elastikoa eta grabitatorioa kontsideratu behar dira:  

E p = 1 2 k y 2 − mg y

    • ●Frogatu dugu B puntutik (oreka berritik) neurtzen badugu, nahikoa dela Ep  elastikoa kontsideratzea. 

    • ●Berridatz dezagun aurreko ekuazioa beste modu batean: 

E p = 1 2 k y 2 − mg y = 1 2 k y 2 − mg y + 1 2 k y o 2 − 1 2 k y o 2 ⏟ = 1 2 k y 2 − k y o y + 1 2 k y o 2 − 1 2 k y o 2

= 1 2 k ( y − y o ) 2 − 1 2 k y o 2 = 1 2 k y 1 2 − 1 2 k y o 2 = 1 2 k y 1 2 + konstante

E p = 1 2 k y 1 2

 

 OSZILAZIO INDARGETUAK

Errealitatean bibrazio fenomenoetan marruskaduraren ondorioz energia (eta anplitudea)  txikituz doa  oszilazioak gelditu arte

Marruskadura indarra:

F indargetzailea = − λ v

Adib: kotxeen indargetzaileak

Σ F = − kx − λ v = m d 2 x d t 2

d 2 x d t 2 + 2 γ d x d t + ω 0 2 x = 0

γ = λ 2 m ω 0 = k / m

 

b) Gainindargetzea

γ > ω 0

Oszilazio bakar bat ere ez du egiten

c) Indargetze kritikoa

γ = ω 0

Sistema oszilatu gabe denbora-tarte txikienean itzultzen da orekara (exponentzialki)

 

 OSZILAZIO BORTXATUAK

Osziladore indargetu bat martxan mantentzeko energia eman behar diogu sistemari.

Emandako energia, disipatutakoaren berdina bada, anplitudeak konstante dirau. Osziladorea egoera iraunkorrrean dagoela esaten da

F eragilea = F 0 cos ( ω e t )

Oszilazio horien amplitudea F0 eta we-ren menpekoak

ω 0 = k / m

Malgukiaren maiztasun naturala

ω e ≈ ω 0

ERRESONANTZIA: osziladore bortxatuak anplituderik handiena lortuko du.